Дан прямоугольный треугольник ABC. Острые углы в нем равны 18 и 72 градуса. Больший катет равен 9,1. Не используя инженерный калькулятор найдите второй катет.

Один катет = а = 9,1

второй катет = х

гипотенуза = √ (a^2 + x^2)

Если катет разделить на гипотенузу, то получим синус противолежащего угла

х/√ (a^2 + x^2) = Sin 18

Осталось вычислить Sin18 без таблиц.

Посмотри, какой тут есть ход:

Sin 18 - ?

Sin 3·18 = Sin 54 = Sin (90 - 36) = Cos 36

(синус тройного угла равен косинусу двойного.

Есть формула синуса тройного угла : Sin 3a = 3Sina - 4Sin^3 a.

Есть формула косинуса двойного угла: Cos 2a = 1 - Sin^2 a)

3Sin 18 - 4Sin^3 18 = 1 - Sin^2 18,

3Sin 18 - 4Sin^3 a - 1 + Sin^2 18 = 0

Обозначим Sin 18 = t, получим 4 t^3 - 2t^2 - 3t + 1 = 0 / Решаем его.

4t^3 - 4t^2 + 2t^2 - 3t + 1 = 0 (Группируем первые 2 слагаемых и остальные)

4 t^2 (t - 1) + (t - 1) (2t - 1) = 0

(t - 1) (4t^2 + 2t - 1) = 0

t - 1 = 0 или 4 t^2 + 2t - 1 = 0

t = 1 t = (-1 + √5) / 4 t = (-1 - √5) / 4

Первый и третий корни не подходят. Значит t = (√5 - 1) / 4

Sin 18 = (√5 - 1) / 4

Теперь ищем неизвестный катет.

х / √ (a^2 + x^2) = (√5 - 1) / 4

осталось решить это уравнение.

x^2 / (a^2 + x^2) = (5 - 2√5 + 1) / 16

16x^2 = (6 - 2√5) (a^2 + x^2)

16 x^2 - (6 - 2√5) x^2 = (6 - 2√5) ·a^2

x^2 (16 - 6 + 2√5) = (6 - 2√5) ·a^2

x^2 = (6 - 2√5) ·a^2 / (10 + 2√5)

Осталось корень записать и подставить а = 9,1