Можно ли расставить числа 1,2,3,4, ...,20 в вершинах и серединах рёбер куба так, чтобы число, стоящее в середине каждого ребра, равнялось полусумме чисел, стоящих на концах этого ребра?

Нельзя!

Доказательство:

Число 1 не может быть поставлено в середину ребра куба, т. к. полусумма ни одной пары оставшихся чисел не может быть равна 1. Наименьшее возможное значение такой полусуммы (2+4) : 2=3.

Следовательно, число 1 должно располагаться в вершине куба. Из этого вытекает, что в вершинах куба могут располагаться только нечетные числа (По условию сумма чисел, стоящих на концах ребра, должна делиться на 2 без остатка, т. е. быть четной. А сумма двух чисел, одно из которых нечетное, может быть четной только при условии, что и второе число тоже нечетное).

Из этого следует, что число 20 будет располагаться в середине какого-либо ребра куба. Очевидно, что число 20 не может быть полусуммой каких-либо двух чисел, каждое из которых меньше 20.

Вывод: расположить числа указанным в задаче способом невозможно.