Решите систему: х+у+ху=1

х^2 у+ху^2=-30

Симпатичная задача на знание теоремы Виета. Если Вы до сих пор эту теорему не любили, надеюсь Ваше отношение к ней сейчас изменится. Кстати есть теорема Виета для уравнений нет только второй степени, но и любой другой степени.

Обозначим x+y=a; xy=b, тогда

a+b=1; ab = - 30 (если не поняли, поясняю - во втором уравнении я вынес за скобку xy) ;

значит, a и b являются решениями квадратного уравнения

t^2 - 1·t - 30=0; (t - 6) (t+5) = 0 (если так не умеете, вычисляйте дискриминант) ;

t=6 или t = - 5.

Дальше два случая.

1. a=6; b = - 5⇒ x+y=6; xy=-5. Опять Виет! и y являются корнями уравнения t^2-6t-5=0; тут корни плохие, поэтому вычисляем с помощью дискриминанта, t=3+√14 или t=3-√14;

для первоначальной системы это дает два решения

(3+√14; 3-√14) и (3-√14; 3+√14).

2. a = - 5; b=6⇒x+y = - 5; xy=6; t^2+5t - 6 = 0; (t-1) (t+6) ; t=1 или t=-6;

получаем еще два решения:

(1; -6) и (-6; 1)