Sin^4 (2x/3) + cos (2x/3) = 5/8

Замена cos (2x/3) = t, тогда sin^2 (2x/3) = 1 - cos^2 (2x/3) = 1 - t^2

sin^4 (2x/3) = (1 - t^2) ^2 = t^4 - 2t^2 + 1

Подставляем

t^4 - 2t^2 + 1 + t = 5/8

t^4 - 2t^2 + t + 3/8 = 0

8t^4 - 16t^2 + 8t + 3 = 0

Это уравнение непонятно, как решать, можно подобрать корни.

Найдем производную этой функции и получим экстремумы:

y ' = 32t^3 - 32t + 8 = 8 (4t^3 - 4t + 1) = 0

Это опять непонятно как решать, Вольфрам Альфа показывает 3 корня:

t1 ≈ - 1,1072; t2 ≈ 0,2696; t3 ≈ 0,8376

Подставим эти корни в исходную функцию:

y (t1) = 8 (-1,1072) ^4 - 16 (-1,1072) ^2 + 8 (-1,1072) + 3 ≈ - 13,45 < 0 - min

y (t2) = 8 (0,2696) ^4 - 16 (0,2696) ^2 + 8 (0,2696) + 3 ≈ 4,036 > 0 - max

y (t3) = 8 (0,8376) ^4 - 16 (0,8376) ^2 + 8 (0,8376) + 3 ≈ 2,41 > 0 - min

В точке t3 минимум положительный, значит, при t > 0 корней нет.

При t < 0 будет 2 корня

y (0) = 3 > 0

y (-1) = 8 - 16 - 8 + 3 = - 13 < 0

y (-2) = 8*16 - 16*4 + 8 (-2) + 3 = 128 - 64 - 16 + 3 = 51 > 0

t1 = cos (2x/3) ∈ (-2; - 1) < - 1 - не подходит

t2 = cos (2x/3) ∈ (-1; 0) - подходит, можно уточнить

y (-0,2) = 8 (-0,2) ^4 - 16 (-0,2) ^2 + 8 (-0,2) + 3 = 0,7728 > 0

y (-0,3) = 8 (-0,3) ^4 - 16 (-0,3) ^2 + 8 (-0,3) + 3 = - 0,7752 < 0

y (-0,25) = 8 (-0,25) ^4 - 16 (-0,25) ^2 + 8 (-0,25) + 3 = 0,03125 ≈ 0

t = cos (2x/3) ≈ - 0,25

2x/3 = + - arccos (-0,25) + 2pi*k

x ≈ + - 1,5*arccos (-0,25) + 3pi*k