Имеется 8 карточек. На них записываются по одному каждое из чисел 1, - 2, - 3, 5, - 6, 7, - 8, 9. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, - 2, - 3, 5, - 6, 7, - 8, 9. После этого числа на каждой карточке складываются, а полученные восемь сумм перемножаются.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

A) Произведение равно 0 если хотя бы один из множителей равен 0. Каждый из восьми множителей есть сумма двух чисел. Сумма же равна нулю лишь в том случае, когда складываются противоположные числа

х + (-х) = 0

Но в нашей последовательности нет ни одной пары взаимопротивоположных чисел. Значит, 0 в результате не может быть никогда.

б) Поскольку наши числа целые, то их сумма будет также целым числом. А произведение целых чисел будет равно 1 лишь в том случае, когда они все по модулю равны 1. А это условие не выполняется. Например, если на одной стороне написано - 3, то, какое бы число не было написано на противоположной стороне, модуль суммы будет отличаться от 1. Следовательно, 1 в результате получиться не может

в) произведение будет минимальным, когда величина множителей минимальна. Попробуем составить минимальное произведение. Начнем с большего числа. Если на одной стороне 9, то на другой - 8, для - 8 на другой стороне или 9, или 7. Но если возьмем 7, то 9 будет в паре с таким числом, которое даст сумму больше 1. Поэтому выбираем 9. Ну и дальше по аналогии:

1 сторона: 9 - 8 7 - 6 5 - 3 - 2 1

2 сторона: - 8 9 - 6 7 - 3 5 1 - 2

сумма 1 1 1 1 2 2 - 1 - 1

Произведение будет равно 4. Это произведение будет минимальным.