Решить дифференциальное уравнение: 5xydx - (y^2+5x^2) dy=0.

Решить дифференциальное уравнение:

5xydx - (y² + 5x²) dy = 0.

(y²+5x²) dy = 5xydx

dy/dx = 5xy / (y² + 5x²)

Получили однородное дифференциальное уравнение так как

функция 5xy / (y² + 5x²) однородная нулевого порядка

или если подставить вместо х и у kx и ky то получим

5 (kx*kx) / ((ky) ²+5 (kx) ²) = (k^0) * 5 (yx) / (y²+5x²)

Положим y = ux или u = y/x, y' = xu' + u

Подставим в исходное уравнение

xu' + u = 5ux² / (u²*x² + 5x²)

xu' + u = 5u / (u² + 5)

xu' = (5u - u³ - 5u) / (u² + 5)

xu' = - u³ / (u² + 5)

((u² + 5) / u³) u' = - 1/x

Получили уравнение с разделяющимися переменными

(1/u + 5/u³) du = - dx/x

Интегрируем обе части уравнения

ln (u) - 5 / (2u²) = - ln (x) + ln (C)

Произведем обратную замену

ln (y/x) - 5 / (2 (y/x) ²) = - ln (x) + ln (C)

ln (y) - ln (x) - 5x² / (2y²) = - ln (x) + ln (C)

ln (y/C) - 5x² / (2y²) = 0

Получили решение дифференциального уравнения в неявном виде.

Ответ:ln (y/C) - 5x² / (2y²) = 0