В уравнении (а²-5 а+3) х² + (3 а-1) х+2=0 определить а, если известно, что отношение корней равно 2.

Пусть корни равны t и 2t, тогда сумма корней 3t, произведение 2t^2.

По теореме Виета сумма корней равна - (3a - 1) / (a^2 - 5a + 3), произведение 2 / (a^2 - 5a + 3).

- (3a - 1) / (a^2 - 5a + 3) = 3t

2 / (a^2 - 5a + 3) = 2t^2

Выражаем из первого уравнения t и подставляем во второе.

3t = (1 - 3a) / (a^2 - 5a + 3)

9t^2 = 9 / (a^2 - 5a + 3)

(1 - 3a) ^2 = 9 (a^2 - 5a + 3)

9a^2 - 6a + 1 = 9a^2 - 45a + 27

39a = 26

3a = 2

a = 2/3

Проверяем, подставив a = 2/3:

x^2/9 + x + 2 = 0

x^2 + 9x + 18 = 0

Корни - 3 и - 6 откличаются в 2 раза.

Ответ. a = 2/3