Решите уравнение (x-5) ^2 + (x-4) ^3 + (x-3) ^4=2

(x-5) ^2 + (x-4) ^3 + (x-3) ^4=2

используем формулы сокращенного умножения

(x-5) ^2 - > x^2-10x+25

(x-4) ^3 - > x^3-12x^2+48x-64

(x-3) ^4 - > x^4-12x^3+54x^2-108x+81

x^4-11x^3+43x^2-70x+42=2

x^4-11x^3+43x^2-70x+40=0

Для решения этого уравнения разложим левую часть на множители

воспользуеся методом неопределенных коэффициентов. Имеем:

x^4 - 11x^3 + 43x^2 - 70x + 40 = (x^2 + px + q) (x^2 + bx + c) =

= x^4 + bx^3 + cx^2 + px^3 + bpx^2 + cpx + qx^2 + bqx + cq =

= x^4 + (b + p) x^3 + (c + q + bp) x^2 + (cp + bq) x + cq,

приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X, получим систему уравнений:

{ b + p = - 11

{ c + q + bp = + 43

{ cp + bq = - 70

{ cq = + 40

из последнего уравнения системы следует, что

для c (как и для q) возможны следующие целые

значения:

±1, ±2, ±4, ±5, ±8, ±10, ±20, ±40,

1) Пусть c = 1, тогда q = 40 В этом случае второе и третье уравнения дают систему:

{ 1 + 40 + bp = + 43

{ 1·p + b·40 = - 70

bp = 2, p = 2 / b

это значение p подставим

во второе уравнение

и получим следующее квадратное уравнение: 40b^2 + 70b + 2 = 0

найдем его дискриминант : D = 4580 а затем корень из D = 67.675697262755

так как корень из дискриминанта дробное число то эти значения c и q не подходят

2) Пусть c = 2, тогда q = 20 В этом случае второе и третье уравнения дают систему:

{ 2 + 20 + bp = + 43

{ 2·p + b·20 = - 70

bp = 21, p = 21/b

это значение p подставим

во второе уравнение

и получим следующее квадратное уравнение: 20b^2 + 70b + 42 = 0

найдем его дискриминант : D = 1540 а затем корень из D = 39.242833740697

так как корень из дискриминанта дробное число то эти значения c и q не подходят

3) Пусть c = 4, тогда q = 10 В этом случае второе и третье уравнения дают систему:

{ 4 + 10 + bp = + 43

{ 4·p + b·10 = - 70

bp = 29, p = 29/b

это значение p подставим

во второе уравнение

и получим следующее квадратное уравнение: 10b^2 + 70b + 116 = 0

найдем его дискриминант : D = 260 а затем корень из D = 16.124515496597

так как корень из дискриминанта дробное число то эти значения c и q не подходят

4) Пусть c = 5, тогда q = 8 В этом случае второе и третье уравнения дают систему:

{ 5 + 8 + bp = + 43

{ 5·p + b·8 = - 70

bp = 30, p = 30/b

это значение p подставим

во второе уравнение

и получим следующее квадратное уравнение: 8b^2 + 70b + 150 = 0

найдем его дискриминант : D = 100 а затем корень из D = 10

b1 = - 3.75 b2 = - 5

p1 = - 8 p2 = - 6

И так имеем : c = 5, q = 8, b = - 5, p = - 6

x^4 - 11x^3 + 43x^2 - 70x + 40 = (x^2 - 6x + 8) (x^2 - 5x + 5) = 0

Следовательно, данное уравнение эквивалентно совокупности квадратных уравнений:

(x^2 - 6x + 8) = 0 и (x^2 - 5x + 5) = 0 решив которые можно найти корни исходного уравнения

x1=2 < - ответ

x2=4 < - ответ

x3 = (5+/sqrt{5}) / 2 < - ответ

x4 = (5-/sqrt{5}) / 2 < - ответ