Задать вопрос
28 июля, 21:19

Найдите сумму всех корней уравнения log5 (3⋅2^ (x+1) - 2^ (-x) ⋅5^ (2x+1)) = x+log5 (13).

+1
Ответы (1)
  1. 29 июля, 00:18
    0
    Область определения логарифма. Число под логарифмом > 0

    3*2^ (x+1) - 2^ (-x) * 5^ (2x+1) > 0

    3*2*2^x - 5*5^ (2x) / 2^x > 0

    Приводим к общему знаменателю 2^x

    (6*2^ (2x) - 5*5^ (2x)) / 2^x > 0

    2^x > 0 при любом х, поэтому проверяем числитель

    6*2^ (2x) - 5*5^ (2x) > 0

    Делим все на 5^ (2x)

    6 * (2/5) ^ (2x) - 5 > 0

    (2/5) ^ (2x) > 5/6

    Основание 0< 2/5 < 1, значит функция убывающая.

    Переходим к логарифму с заменой знака.

    2x < log (осн 2/5) (5/6)

    2x < (lg 5 - lg 6) / (lg 2 - lg 5)

    x < 1/2 * (lg 6 - lg 5) / (lg 5 - lg 2) ~ 1/2*0,07918/0,39794 ~ 0,0995

    Перенесем логарифм налево

    log5 [ (6*2^ (2x) - 5*5^ (2x)) / 2^x ] - log5 (13) = x

    log5 ([ (6*2^ (2x) - 5*5^ (2x)) / 2^x ] / 13) = x

    [ (6*2^ (2x) - 5*5^ (2x)) / 2^x ] / 13 = 5^x

    (6*2^ (2x) - 5*5^ (2x)) / 2^x = 13*5^x

    6*2^ (2x) - 5*5^ (2x) = 13*5^x*2^x

    6*2^ (2x) - 13*5^x*2^x - 5*5^ (2x) = 0

    Делим все на 5^ (2x)

    6 * (2/5) ^ (2x) - 13 * (2/5) ^x - 5 = 0

    Замена (2/5) ^x = y > 0 при любом х

    6y^2 - 13y - 5 = 0

    Наконец-то добрались до любимого квадратного уравнения

    D = 13^2 - 4*6 * (-5) = 169 + 120 = 289 = 17^2

    y1 = (2/5) ^x = (13 - 17) / 12 < 0 - не подходит

    y2 = (2/5) ^x = (13 + 17) / 12 = 30/12 = 5/2

    x = - 1 - подходит по обл. опр. x < 0,0995

    Корень только один, поэтому сумма корней равна ему же

    Ответ: - 1
Знаете ответ?
Сомневаетесь в ответе?
Найдите правильный ответ на вопрос ✅ «Найдите сумму всех корней уравнения log5 (3⋅2^ (x+1) - 2^ (-x) ⋅5^ (2x+1)) = x+log5 (13). ...» по предмету 📘 Математика, а если вы сомневаетесь в правильности ответов или ответ отсутствует, то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие вопросы.
Смотреть другие ответы