Даны четыре вектора а = (4; 5; 2), b = (3; 0; 1), c = (-1; 4; 2), d = (5; 7; 8) в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

a, b, c могут считаться базисом, если определитель из столбцов их координат не равен 0.

4 3 - 1

det (5 0 4) = - 3 * (5*2-4*2) - 1 * (4*4 - (-1) * 5) = - 27 - не равен 0, значит вектора

2 1 2

a, b, c образуют базис, что и требовалось показать.

Вектор d представим в виде:

d = p*a + q*b + r*c

Так как координаты d заданы, получим систему уравнений для коэффициентов p, q, r:

4p + 3q - r = 5

5p + 4r = 7

2p + q + 2r = 8

q = 8-2p-2r тогда получим систему 2p+7r=19

5p+4r=7

Решив, получим: p = - 1, r = 3 и тогда q = 4

Значит разложение выглядит так:

d = - a + 4b + 3c