Высота усеченного конуса равна 4√3. Образующая наклонена к плоскости основания под углом 60º. Радиус большего основания равен 10 см. Найти площадь полной поверхности конуса

Площадь полной поверхности усечённого конуса равна сумме площадей боковой поверхности и его оснований.

S=п (R^2 + (R+r) * l+r^2)

Найдем радиус меньшего основания и образующую. Образующая, больший радиус и высота образуют прямоугольный треугольник. Т. к. больший угол 60°, то другой 30°. Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. Пусть радиус равен х, тогда образующая 2 х. Используем теорему Пифагора

(2x) ^2-x^2 = (4√3) ^2

4x^2-x^2=48

3x^2=48

x^2=16

x=4

Значит образующая равна 8 см

Меньший радиус 6 см

S=п (100 + (10+6) * 8+36) = п (100+128+36) = 264 п

Проекция образующей l на большее основание при высоте h = 4√3 см

h/z = tg (β)

z = h/tg (60°) = 4√3/√3 = 4 см

Сама образующая

h/l = sin (β)

l = h/sin (60°) = 4√3 / (√3/2) = 8 см

Радиус большего основания R₁ = 10 см

Радиус меньшего основания

R₂ = R₁ - z = 10 - 4 = 6 см

Площади основания

S₁ = πR₁² = 100π см²

S₂ = πR₂² = 36π см²

Боковая поверхность

S₃ = π (R₁ + R₂) l = π (10 + 6) 8 = 128π см²

Полная площадь

S = 100π + 36π + 128π = 264π см²