В треугольнике АВС проведена бисектриса BD. Докажите, что если ВС>АВ, то угол ВDC - тупой.

Решение:

В треугольнике АВС ВС=АВ, ВD---высота и биссектриса, если ΔАВС---равнобедренный, отсюда углы ВDС и BDA=90°. Следовательно смежные углы в сумме составляют 180 градусов, поэтому если ВС>AB (ВDС>90°), т. е. угол является тупым.

Рассмотрим треугольники АВD и СВD. Если ВС=АВ, то треугольник АВС равнобедренный и биссектриса является одновременно высотой, значит угол ВDС = углу BDA = 90 градусов. Эти смежные углы в сумме составляют 180 градусов, поэтому если ВС>AB, то угол ВDС>90 градусов, т. е. угол тупой.