С обрыва высотой 100 м человек бросает камень под углом 30 градусов к горизонту. камень проходит горизонтальное расстояния 25 м прежде чем приземлиться. С какой начальной скоростью человек бросил камень?

Горизонтальное расстояние L, горизонтальная составляющая скорости v₀Cosα и время полёта камня t связаны следующим соотношением:

tv₀Cosα = L

откуда время полёта

t = L/v₀Cosα

С другой стороны, время полёта складывается из времени, в течение которого камень слетал на максимальную высоту и вернулся обратно, на высоту обрыва:

t₁ = 2v₀Sinα/g

и времени t₂, которое затратил камень, падая с высоты h обрыва с вертикальной составляющей, равной v₀Sinα.

Время t₂ можно рассчитать, если мы определим вертикальную составляющую скорости v, с которой камень упал в овраг, поскольку

t₂ = (v - v₀Sinα) / g.

Полная механическая энергия E = mv²/2 есть величина постоянная, поэтому можно написать

mv²/2 = mgh + mv₀²Sin²α/2

откуда вертикальная составляющая скорости, с которой камень завершил полёт равна:

v = √ (2gh + v₀²Sin²α) и в результате время

t₂ = (√ (2gh + v₀²Sin²α) - v₀Sinα) / g

Таким образом, мы можем выразить время полёта через вертикальную составляющую начальной скорости броска камня:

t = t₁ + t₂ = 2v₀Sinα/g + (√ (2gh + v₀²Sin²α) - v₀Sinα) / g;

t = v₀Sinα/g + √ (2h/g + v₀²Sin²α/g²)

Это даёт нам возможность написать уравнение для определения искомой начальной скорости v₀:

L/v₀Cosα = v₀Sinα/g + √ (2h/g + v₀²Sin²α/g²)

Решаем его:

L = v₀²SinαCosα/g + √ (2hv₀²Cosα²/g + v₀⁴Sin²αCosα²/g²)

L - v₀²SinαCosα/g = √ (2hv₀²Cosα²/g + v₀⁴Sin²αCosα²/g²)

L² - 2Lv₀²SinαCosα/g + v₀⁴Sin²αCosα²/g² = 2hv₀²Cosα²/g + v₀⁴Sin²αCosα²/g²

L² - 2Lv₀²SinαCosα/g = 2hv₀²Cosα²/g

v₀² = L²g / (2hCosα² + 2LSinαCosα)

и окончательно

v₀ = L√ (g / (2 (hCosα² + LSinαCosα))

v₀ = 25√ (10 / (2 (100·0.866² + 25·0.5·0.866)) = 6.03 м/с

Поскольку решение перегружено алгебраическими преобразованиями, проведём на всякий случай проверку.

t = v₀Sinα/g + √ (2h/g + v₀²Sin²α/g²) = 6.03·0.5/10 + √ (2·100/10 + 6.03²0.5²/100) = 4.78 c

Тогда

L = tv₀Cosα = 4.78·6.03·0.866 = 25 м -

по-видимому, в вычислениях я не проврался.

Итак, ответ: камень бросили с начальной скоростью 6,03 м/с