Докажите, что число вида 8n+7 не может быть суммой квадратов трех целых чисел

Найдем какие остатки может давать квадрат натурального числа при делении на 8, пусть n = t² и t = 2k (чётно), тогда n = 4k², если 4k² = 8m + r, то r = 4k² - 8m ⇒ r-кратно 4 ⇒ r = 0 или r = 4, если n = 2k + 1 (нечётно), то n = 4k² + 4k + 1 = 4k (k+1) + 1, одно из чисел к или к+1 четно ⇒ 4k (k+1) кратно 8 ⇒ n = 8p + 1 ⇒ остаток при делении n на 8 равен 1 ⇒ квадрат натурального числа при делении на 8 может дать в остатке 0, 1 или 4 ⇒ если а, b, c - квадраты целых чисел, то каждое из них имеет вид: 8m, 8n+1 или 8l + 4 осталось доказать, что если сложить 3 числа этого типа (необязательно с разными остатками), то никогда не получим число вида 8n + 7, предположим, что это возможно, так как число 8n + 7 нечетно, то в эту сумму должно войти число вида 8n + 1 один или 3 раза подряд, но если сложить 3 числа этого типа, то получим число вида : z = 8q+3 (остаток не равен 7), а если число вида 8n + 1 входит в сумму один раз, то сумма остальных (четных) чисел должна быть равной 8s + 6, но это число не кратно 4, а сумма чисел вида 8m и 8l+4 кратна 4 ⇒ и это невозможно, что и доказывает утверждение