Прямая y = - 2x - 12 параллельна касательной к графику функции y = x^3 - 2x^2 - 6x - 4. Найдите абсциссу точки касания.

Дана функция y = x^3 - 2x^2 - 6x - 4 и прямая у = - 2 х - 12.

Находим производную функции.

y' = 3x^2 - 4x - 6.

Производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции.

По заданию к = - 2.

Приравниваем: 3x^2 - 4x - 6 = - 2.

Получаем квадратное уравнение 3x^2 - 4x - 4 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:

D = (-4) ^2-4*3 * (-4) = 16-4*3 * (-4) = 16-12 * (-4) = 16 - (-12*4) = 16 - (-48) = 16+48=64; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1 = (√64 - (-4)) / (2*3) = (8 - (-4)) / (2*3) = (8+4) / (2*3) = 12 / (2*3) = 12/6 = 2; x_2 = (-√64 - (-4)) / (2*3) = (-8 - (-4)) / (2*3) = (-8+4) / (2*3) = - 4 / (2*3) = - 4/6 = - (2/3) ≈ - 0.666667.

Получили 2 точки: х = 2 и х = - (2/3).

Используя уравнение касательной у (кас) = y' (xo) * (x-xo) + y (xo), находим уравнения для полученных двух точек.

у (кас (2)) = - 2 * (x-2) - 16 = - 2 х - 12 (это заданная параллельная прямая).

у (кас (-2/3)) = - 2 * (x + (2/3)) - (32/27) = (-2/3) х - (68/27) это и есть уравнение искомой касательной, а абсцисса точки касания х = - 2/3.