Назовем число n² - 1 почти квадратом натурального числа n. Докажите, что произведение двух почти квадратов натуральных чисел всегда равно разности каких-то двух квадратов натуральных чисел.

Возмем два почти квадратом натуральных чисел n и k. n²-1 и k²-1

(n²-1) (k²-1) = n²k²-n²-k²+1=n²k²-n²-k²+1+2nk-2nk=n²k² - (n-k) ²+1-2nk = (nk-1) ² - (n-k) ²

Так как при при натуральных n и k, если хотя бы одно из них >1 и n≠k

nk - 1 и |n-k| натуральные, то (nk-1) ² и (n-k) ² тоже натуральные.