Найдите значение выражения sin x+cos x, если известно что: tg x+ctg x=5

Tgx+ctgx=5

(sin^2x+cos^2x) / sinx*cosx=5

sinx*cosx=1/5

sin^2x+cos^2x+2sinx*cosx = (sinx+cosx) ^2

1+2/5 = (sinx+cosx) ^2

sinx+cosx = + / - √ (7/5)

Tgx + ctgx = 5

sinx/cosx + cosx/sinx = 5

Умножим обе части уравнения на sinx*cosx.

(sinx) ^2 + (cosx) ^2 = 5sinx*cosx

Так, как (sinx) ^2 + (cosx) ^2 = 1,

5sinx*cosx = 1

sinx*cosx = 1/5

Теперь запишем (sinx + cosx) ^2 = (sinx) ^2 + (cosx) ^2 + 2sinx*cosx = 1 + 2/5 = 7/5, откуда

sinx + cosx = √ (7/5)

sinx + cosx = - √ (7/5)

Решений два, потому что период синуса и косинуса в два раза больше, чем у тангенса и котангенса, что означает, что на одно значение суммы тангенса и котангенса будет два значения суммы синуса и косинуса