Решить систему уравнений √ (x+y) + √ (2y-5x) = y

√ (x+y) - √ (2y-5x) = x

Для начала заметим, что x+y≥0, 2y-5x≥0, у≥0

сложим уравнения

√ (x+y) + √ (2y-5x) + √ (x+y) - √ (2y-5x) = y+x

2√ (x+y) = x+y

умножим первое уравнение на 2 и вычем из него второе, умноженное на 5

2 (√ (x+y) + √ (2y-5x)) - 5 (√ (x+y) - √ (2y-5x)) = 2y-5x

7 √ (2y-5x) - 3√ (x+y) = 2y-5x

получили новую систему

2√ (x+y) = x+y

7√ (2y-5x) - 3√ (x+y) = 2y-5x

заменим переменные x+y=a, 2y-5x=b, a≥0, b≥0

2√a=a

7√b - 3√a=b

из первого уранения получаем a₁=0, a₂=4

1. подставляем a₁ во второе

7√b ₁=b ₁

b ₁=0, b ₂=49

1.1 x+y=0

2y-5x=0

получаем x=0 и y=0

1.2 x+y=0

2y-5x=49

y=-x

-2x-5x=49

-7x=49

x=-7, y=7

2. подставляем a₂ во второе

7√b ₂-3 * √4=b ₂

7√b₂-6 = b ₂

b₂ - 7√b₂+6=0

обозначим √b₂=с

с²-7 с+6=0

D=7²-4*6=49-24=25

√D=5

c₁ = (7-5) / 2=1

c₂ = (7+5) / 2=6

b₃=1, b₄=36

2.1 x+y=4

2y-5x=1

y=4-x

2 (4-x) - 5x=1

8-7x=1

7x=7

x=1

y=3

получаем x=1 и y=3

2.2 x+y=4

2y-5x=36

y=4-x

2 (4-x) - 5x=36

8-7x=36

7x=-28

x=-4

y = 8

получаем x = - 4 и y = 8

Ответ: 4 пары чисел (0; 0), (7; -7), (1; 3) и (-4; 8)

ОДЗ

{x+y≥0

{2y-5x≥0

{y≥0

Прибавим уравнения

2√ (х+у) = у+х

Обозначим√ (x+y) = a

2a=a²

a (a-2) = 0

1) a=0

x+y=0⇒x=-y

подставим в 1 уравнение

0+√ (2y+5y) = y

√7y=y

возведем в квадрат

7y=y²

y (y-7) = 0

y1=0⇒x1=0

y2=7⇒x2=-7

2) a=2

√ (x+y) = 2

x+y=4

x=4-y

подставим в 1 уравнение

√4+√ (7y-20) = y

y-2=√ (7y-20)

возведем в квадрат

y²-4y+4=7y-20

y²-11y+24=0

y1+y2=11 U y1*y2=24

y1=3⇒x1=4-3=1

y2=8⇒x2=4-8=-4

Ответ (0; 0) ; (-7; 7) ; (1; 3) ; (-4; 8)