при каких значениях m и n связанных соотношением m+n=1 выражение 2m^2+2mn-n^2 принимает наименьшее значение

4m²+2mn-n²

m+n=1 ⇒ m=1-n

2 (1-n) ²+2n (1-n) - n²=2 (1-2n+n²) + 2n-2n²-n²=2-8n+2n²+2n-3n²=n²-6n+2

это парабола с рогами вверх (т. к. коэффициент при n²>0)

значит вершина параболы будет минимум

найдем значение n

для параболы

ах²+bx+c абсцисса вершины равна

значит для нашего случая

n=6/2=3

подставим в m+n = 1

получим m=1-3=-2

добавлю, что при решении всего этого относительно m получим еще пару

n=-2

m=3