Задать вопрос
23 марта, 13:13

Составить уравнения общих касательных к графикам функций у = ((x-1) ^3) * 32/9 и y=x^2

+5
Ответы (1)
  1. 23 марта, 17:02
    0
    1) f (x) = (32/9) * (x-1) ^3, уравнение касательной в какой-либо точке x1:

    y1=f (x1) + f ' (x1) (x-x1) = f ' (x1) x + f (x1) - f ' (x1) x1

    f (x1) = (32/9) (x1-1) ^2, f ' (x) = (32/9) * 3 (x-1) ^2 = (32/3) (x-1) ^2,

    f ' (x1) = (32/3) (x1-1) ^2

    2) f (x) = x2, уравнение касательной в какой-либо точке x2:

    y2=f (x2) + f ' (x2) (x-x2) = f ' (x2) x + f (x2) - f ' (x2) x2

    f (x2) = (x2) ^2, f ' (x) = 2x, f ' (x2) = 2 (x2)

    Если касательные общие, значит y1=y2,

    значит должны быть равны коэфф. перед x и свободные члены,

    получаем систему уравнений с 2 неизвестными:

    f ' (x1) = f ' (x2), f (x1) - f ' (x1) x1 = f (x2) - f ' (x2) x2

    1. (32/3) (x1-1) ^2 = 2 (x2) ; 2. (32/9) * (x1-1) ^3 - x1 * (32/3) (x1-1) ^2 = (x2) ^2 - 2 (x2) ^2

    1. ((32/3) (x1-1) ^2) / (x2) ^2 = 2; 2. (((32/3) (x1-1) ^2) / (x2) ^2) ((x1-1) / 3 - x1) = - (x2) ^2;

    подставляя первое в 2, из второго уравнения получаем:

    2 (x1-1-3x1) / 3 = - x2, 2 (2x1+1) / 3 = x2, подставляем в 1.

    ((32/3) (x1-1) ^2=4 (2x1+1) / 3, 8 (x1^2 - 2x1+1) = 2x1+1,

    8x1^2-18x1+7=0, x1 = (18 + - √100) / 16, x1=1/2, x1=7/4

    Теперь найдем уравнения касательной y1, они же будут равны = y2:

    1. x1=1/2, f (x1) = (32/9) (1/2 - 1) ^3 = (32/9) (-1/2) ^3 = (32/9) (-1/8) = - 4/9

    f ' (x1) = (32/3) (1/2 - 1) ^2 = (32/3) (1/4) = 8/3

    y1 = - 4/9 + (8/3) (x-1/2) = - 4/9 + (8/3) x - 8/6, обозначим y1 просто y:

    18y=48x-32, 9y=24x-16 - первое уравнение общей касательной

    2. x1=7/4, f (x1) = (32/9) (7/4 - 1) ^3 = (32/9) (3/4) ^3 = (32/9) (27/64) = 3/2,

    f ' (x1) = (32/3) (7/4 - 1) ^2 = (32/3) (3/4) ^2 = (32/3) (9/16) = 6

    y1=3/2 + 6 (x - 7/4) = 3/2+6x - 21/2=6x-9, обозначим y1 просто y:

    y=6x - 9 - второе уравнение общей касательной
Знаете ответ?
Сомневаетесь в ответе?
Найдите правильный ответ на вопрос ✅ «Составить уравнения общих касательных к графикам функций у = ((x-1) ^3) * 32/9 и y=x^2 ...» по предмету 📘 Алгебра, а если вы сомневаетесь в правильности ответов или ответ отсутствует, то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие вопросы.
Смотреть другие ответы