В конус объемом 36 вписан шар. найдите объем шара, если осевое сечение конуса является равносторонним треугольником

Если осевое сечение конуса - равносторонний треугольник, то в конусе половина образующей равна радиусу основания. Проведем осевое сечение и получившийся треугольник обозначим ABC, где A - вершина конуса. Опустим высоту AH - которая явл. так же медианой и биссектрисой.

BH обозначим r - радиус окружности в основании конуса.

BA тогда будет 2r

Из прямоугольного треугольника ABH:

AH² = BA² - BH²

AH² = 4r² - r²

AH² = 3r²

AH = r√3

Объем конуса V = πr²h/3 (где r - радиус основания, а h - высота)

V = πBH²AH²/3 = πr²r√3/3 = πr³√3/3

Но V так же равно 36.

πr³√3/3 = 36

r³ = 36√3/π

r = ∛ (36√3/π)

Вычислим радиус вписанного шара - R

Осевое сечение шара является вписанной окружностью для треугольника в осевом сечении конуса. R этой окружности и R шара - одинаковы.

Так как треугольник ABC равносторонний R = a√3/6 (а - сторона треугольника)

Сторона треугольника - 2r = 2∛ (36√3/π)

R = ∛ (36√3/π) * √3/6

Vшар = 4πR³/3

Vшар = 4π (∛ (36√3/π) * √3/6) ³/3 = (4π (36√3/π) * 3√3/36*6) / 3 = 4*36√3*3√3/36*6*3 = 4/2 = 2

Ответ: 2