sin x*cos x-6sinx+6cosx+6=0

Получается примерно так:

sinx cosx + 6 cosx + 6 - 6 sinx = 0

sinx (cosx-6) + 6 cosx + 6 = 0

sinx = 6 (cosx+1) / (6-cosx)

sqrt (1-cos^2 x) = 6 (cosx+1) / (6-cosx)

1-cos^2 x = [6 (cosx+1) / (6-cosx) ]^2

(1-cosx) (1+cosx) = 36 (1+cosx) ^2 / (6-cosx) ^2

Сокращаем обе части на cosx+1.

При этом нужно убедиться, что не потерялись решения.

Получаем:

(1-cosx) (6-cosx) ^2 = 36 (1+cosx)

(1-cosx) (36+cos^2 x - 12cosx) = 36 + 36 cos x

36 - 36 cosx + cos^2 x - cos^3 x - 12 cosx + 12 cos^2 x = 36 + 36 cosx

-84 cosx + 13 cos^2 x - cos^3 x = 0

cosx (cos^2 x - 13 cosx + 84) = 0

cosx = 0 или cos^2 x - 13 cosx + 84 = 0

Второе уравнение, квадратное относительно косинуса, решений не имеет.

Остается единственный вариант:

cosx = 0

В этом случае исходное уравнение принимает вид:

6 = 6sinx

sinx = 1

x=п/2 + 2kп, k - произвольное целое.

Теперь проверим, что при сокращении на cosx+1 не потерялись решения. Получаем:

cosx + 1 = 0

cosx = - 1

Тогда sinx = 0, и исходное уравнение обращается в верное тождество. Следовательно, к решению надо добавить корни:

x = п + 2kп, k - произвольное целое.

Ответ:

x=п/2 + 2kп, k ∈Z,

x=п + 2kп, k ∈Z.