Даны координаты четырех точек А (0,80) B (2,-1,0) C (3,0,1) M (2,1,-1)

Требуется: 1) составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C

2) составить каноноческие уравнения прямой, проходящей через точку M, перпендикулярно плоскости Q

3) найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью Qи с координатными плоскостями xOy, xOz, yOz

4) Найти расстояние от точки M до плоскости Q

1) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

| x - xA y - yA z - zA |

|xB - xA yB - yA zB - zA |

|xC - xA yC - yA zC - zA | = 0

Подставим данные и упростим выражение:

|x - 0 y - 8 z - 0|

|2 - 0 (-1) - 8 0 - 0|

|3 - 0 0 - 8 1 - 0 | = 0

|x - 0 y - 8 z - 0|

| 2 - 9 0 |

| 3 - 8 1 | = 0

(x - 0) (-9·1-0· (-8)) - (y - 8) (2·1-0·3) + (z - 0) (2· (-8) - (-9) ·3) = 0

(-9) (x - 0) + (-2) (y - 8) + 11 (z - 0) = 0

- 9x - 2y + 11z + 16 = 0

Без определителей надо решить систему из трёх уравнений:

Уравнение плоскости:

A · x + B · y + C · z + D = 0.

Для нахождения коэффициентов A, B, C и D нужно решить систему:

A · x1 + B · y 1 + C · z 1 + D = 0,

A · x2 + B · y 2 + C · z 2 + D = 0,

A · x3 + B · y 3 + C · z 3 + D = 0.

Решим эту систему, которая в нашем случае запишется следующим образом:

A · (0) + B · (8) + C · (0) + D = 0,

A · (2) + B · (-1) + C · (0) + D = 0,

A · (3) + B · (0) + C · (1) + D = 0.

Получим уравнение плоскости:

- 9 · x - 2 · y + 11 · z + 16 = 0.

2) Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M, перпендикулярно плоскости Q.

В общем уравнении плоскости Ax+By+Cz+D=0, вектор N→ = (A; B; C) - вектор нормали к плоскости. В найденном уравнении плоскости вектор нормали имеет следующие координаты N→ = (-9; -2; 11)

Вспомним каноническое уравнение прямой (x - x0) / m = (y - y0) n =

(z - z0) p (1), где координаты (x0; y0; z0) - координаты точки, принадлежащей прямой, согласно условия задачи это точка М (2; 1; - 1).

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M перпендикулярно плоскости Q : (x-2) / - 9 = (y-1) / - 2 = (z+1) / 11.

3) Найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями xOy, xOz, yOz

Уравнение прямой через точку M перпендикулярно плоскости Q: (x-2) / - 9 = (y-1) / - 2 = (z+1) / 11 в параметрическом виде (x-2) / - 9 = (y-1) / - 2 = (z+1) / 11 = t.

Выразим переменные через t:

x = - 9t + 2

y = - 2t + 1

z = 11t - 1 и подставим в уравнение плоскости:

- 9 (-9t + 2) - 2 (-2t + 1) + 11 (11t - 1) + 16 = 0

81t - 18 + 4t - 2 + 121t - 11 + 16 = 0

206t - 15 = 0

t = 15 / 206 = 0.072816.

Координаты точки пересечения:

x = - 9t + 2 = 1.3446602,

y = - 2t + 1 = 0.8543689,

z = 11t - 1 = - 0.199029.

Найдем точки пересечения прямой с координатными плоскостями:

точка пересечения прямой с плоскостью xOy; z=0,

(x-2) / - 9 = (y-1) / - 2 = (0+1) / 11 = > (x-2) / - 9 = (y-1) / - 2=1/11 запишем систему уравнений:

(x-2) / - 9 = 1/11

11 х - 22 = - 9

х = (22 - 9) / 11 = 13 / 11 = 1.181818.

(y-1) / - 2 = 1/11

11 у - 11 = - 2

у = (-2 + 11) / 11 = 9 / 11 = 0.818182.

z = 0.

Точка пересечения прямой с плоскостью xOz; y=0,

(x-2) / - 9 = (0-1) / - 2 = (z+1) / 11 = > запишем систему уравнений:

(x-2) / - 9 = (0-1) / - 2 = 1/2

2 х - 4 = - 9

х = (-9 + 4) / 2 = - 5 / 2 = - 2,5.

(z+1) / 11 = 1/2

2z + 2 = 11

z = (11 - 2) / 2 = 9 / 2 = 4,5/

y = 0.

Точка пересечения прямой с плоскостью yOz; x=0,

(0-2) / - 9 = (y-1) / - 2 = (z+1) / 11 = > (y-1) / - 2 = (z+1) / 11 = 2/9 запишем систему уравнений:

(y-1) / - 2 = 2 / 9

9 у - 9 = - 4

у = (9 - 4) / 9 = 5 / 9 = 0.555556.

(z + 1) / 11 = 2 / 9

9z + 9 = 22

z = (22 - 9) / 9 = 13 / 9 = 1.444444.

x = 0.

4) Найти расстояние от точки M до плоскости Q.

Расстояние от точки M (x0; y0; z0) до плоcкости рассчитывается по формуле d = (|A x0 + B y0 + C z0 + D|) / √ (A² + B ² + C ²),

где A x0 + B y0 + C z0 + D - общее уравнение плоскости,

x0; y0; z0 - координаты точки M (x0; y0; z0)

Рассмотрим уравнение плоскости Q: - 9x - 2y + 11z + 16 = 0 - общее уравнение плоскости.

A=-9; B=-2; C=11D=16

Координаты точки M (2; 1; -1).

Подставим в формулу данные d = |-9·2 + (-2) ·1 + 11· (-1) + 16| = |-18 - 2 - 11 + 16| = √ (-9) 2 + (-2) 2 + 112 √81 + 4 + 121 = 15 = 15√206 ≈ 1.0450995214374266.