Катет прямоугольного треугольника равен кубу числа, другой катет равен разности между кубом числа и самим числом, а гипотенуза равна сумме куба числа и самого числа. Какое это число?

P. S. Решал с помощью теоремы Пифагора, получил:, но решить его не смог. Решите любым понятным методом для ученика 8 класса.

Обозначим один катет через a³, где a - искомое число, а гипотенузу - через b. Тогда по условию второй катет равен a³-a, а гипотенуза b=a³+a. Тогда, с одной стороны, b² = (a³+a) ²=a⁶+2a⁴+a². Но, с другой стороны, по теореме Пифагора b² = (a³) ² + (a³-a) ²=a⁶+a⁶-2a⁴+a²=2a⁶-2a⁴+a². Приравнивая эти два выражения для b², получаем равенство

a⁶+2a⁴+a²=2a⁶-2a⁴+a². Перенося левую часть вправо, получаем уравнение a⁶-4a⁴=a⁴ (a²-4) = 0. Отсюда либо a=0, что нас не устраивает, либо a²=4, откуда a=2. Ответ: a=2.