Решите неравенство sqrt (a+x) + sqrt (a-x) >a для все значений параметра а.

Левая часть неравенства должна существовать, поэтому

a + x > = 0,

a - x > = 0

Переписываем систему в виде

-a < = x < = a,

|x| < = a

откуда видно, что a > = 0.

Можно сразу записать, что если a < 0, то решений нет.

Тогда обе части исходного неравенства неотрицательные, и можно возводить в квадрат.

a + x + 2sqrt (a^2 - x^2) + a - x > a^2

sqrt (a^2 - x^2) > a (a - 2) / 2

Если правая часть отрицательна, то решение неравенства - все значения, при которых корень существует.

a (a - 2) / 2 < 0 при 0 < a < 2, так что еще одна часть ответа такова: если 0 < a < 2, то - a < = x < = a.

Осталось рассмотреть случай, когда a (a - 2) > = 0. Тогда вновь можно возводить неравенство в квадрат.

a^2 - x^2 > (a^4 - 4a^3 + 4a^2) / 4

x^2 < a^3 (4 - a) / 4.

У этого неравенства есть шанс иметь решения, если правая часть строго положительна, поэтому предпоследняя часть ответа: если a = 0 или a > = 4, решений нет. Осталось рассмотреть последний случай 2 < = a < 4.

Заметим, что при таких a правая часть меньше a^2, ведь

a^3 (4 - a) / 4 / a^2 = a (4 - a) / 4 < 2 * (4 - 2) / 4 = 1 (известно, что квадратичная парабола a (4 - a) / 4 достигает максимального значения в вершине), поэтому все корни существуют, и последняя часть ответа: если 2 < = a < 4, то - sqrt (a^3 (4 - a)) / 2 < x < sqrt (a^3 (4 - a)) / 2.

Собираем всё в одно и получаем ответ.

Ответ. Если 0 < a < 2, то - a < = x < = a; если 2 < = a < 4, то - sqrt (a^3 (4 - a)) / 2 < x < sqrt (a^3 (4 - a)) / 2, для остальных a решений нет.