Решите в натуральных числах (a, b) уравнение

НОК (a, b) - НОД (a, b) = ab/5.

Используем то, что НОД (a, b) * НОК (a, b) = ab. Пусть НОД (a, b) = x. Тогда НОК (a, b) = ab/x. Подставим это в исходное выражение.

ab/x-x=ab/5

Умножим обе части на 5x.

5ab-5x²=abx

ab (5-x) = 5x²

ab = (5x²) / (5-x)

Выражение справа должно быть положительным, поэтому 5-x>0. Переберем 4 варианта, чтобы выражение справа было целым.

1) x=1: (5*1²) / (5-1) = 5/4 - не целое

2) x=2: (5*2²) / (5-2) = 20/3 - не целое

3) x=3: (5*3²) / (5-3) = 45/2 - не целое

4) x=4: (5*4²) / (5-4) = 80 - подходит

Тогда НОК (a, b) = ab/x=80/4=20, НОД (a, b) = 4.

Так как НОД (a, b) = 4, то числа a и b представимы в виде 4a' и 4b', где НОД (a', b') = 1.

ab = (4a') * (4b') = 16*a'b'=80

a'b'=5.

Тогда возможно два варианта:

1) a'=1, b'=5.

a=1*4=4, b=5*4=20

2) a'=5, b'=1

a=5*4=20, b=1*4=4

Ответ: (4; 20), (20; 4).