Уравнения и системы уравений

Пусть функции и определены на некотором множестве. Поставим задачу: найти множество, на котором эти функции принимают равные значения, другими словами, найти все значения, для которых выполняется равенство: =. При такой постановке это равенство называется уравнением с неизвестным. Уравнение называется алгебраическим, если в нем над неизвестным выполняются только алгебраические операции - сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня с натуральным показателем. Множество называется множеством (областью) допустимых значений неизвестного для данного уравнения. Множество называется множеством решений, а всякое его решение - корнем данного уравнения Решить уравнение, - значит, найти множество всех его решений или доказать, что их нет. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. Основная теорема алгебры: всякое целое алгебраическое уравнение степени в области комплексных чисел имеет корней. Основные правила преобразования уравнения в равносильное ему: · Какое-нибудь слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком; · Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и тоже отличное от нуля число; · Если уравнение имеет вид, то деление обеих его частей на, как правило, недопустимо, поскольку может привести к потере корней; в этом случае могут быть потеряны корни уравнения = 0, если они существуют; · Уравнение вида можно заменить равносильной системой или решить уравнение = 0, а затем отбросить те из найденных корней, которые обращают в нуль знаменатель; · Уравнение считается решенным неверно как в случае, когда ответ содержит посторонние корни, так и в случае, когда в процессе решения был потерян хотя бы один корень. Теорема о неэквивалентности уравнений: Если функции и имеют общую область определения, то уравнения = и 2=2 не обязательно являются эквивалентными в этой области. Теорема об эквивалентности уравнений: Если функции и имеют общую область определения и для каждого значения переменной из области эти функции принимают неотрицательные значения, то уравнения = и 2=2 являются эквивалентными области.