Решить уравнение

x^4+2x^3-4x^2-5x-6=0

Первый шаг в решении таких уравнений - угадать корень. Угадаем один из его корней. Делаем это на основе следующего утверждения.

Если рациональное с целыми коэффициентами имеет целочисленный корень, то искать его нужно только среди делителей свободного члена.

Свободный член равен - 6.

Его делители: + - 1; + - 2; + - 3; + - 6

Среди них должен быть корень уравнения. Давайте сделаем проверку.

Ну что делаем? Просто берём по очереди каждый из делителей - 6 и подставляем в уравнение, проверяя, где выполнится равенство.

Раньше или позже, но мы увидим, что при x = 2 выполняется 0 = 0, что верно. То есть, x = 2 - один из целых корней уравнения.

Славно, один корень мы нашли. Теперь воспользуемся теоремой Безу. Она гласит, что если уравнение, написанное выше, имеет корень x0, то многочлен в левой части без остатка делится на x-x0. То есть, наш многочлен в левой части без остатка делится на x - 2. Давайте разделим. Можно по схеме Горнера это сделать, найти коэффициенты при новых степенях уравнения. А можно и обыкновенным, дубовым, делением в уголок. Итак, сейчас скажу, что у меня вышло. Сам принцип деления за бортом, если будут вопросы, напишите.

Итак, поделили, получили, что левая часть равна

(x-2) (x^3 + 4x^2 + 4x + 3) = 0

Боюсь, что нам придётся повторить этот приём, дабы ещё понизить степень хотя бы до второй.

x^3 + 4x^2 + 4x + 3 = 0

Вновь пытаемся угадать корень уже этого уравнения. Кандидаты на ответ: + - 1; + - 3

Пытаемся проверкой угадать нужный корень. Выясняем, что при x = - 3 выполняется верное равенство. Значит, x = - 3 - корень этого уравнения и уже этот многочлен я делю по теореме Безу на x + 3.

Делим уголком или по схеме Горнера, получаем в итоге.

(x-2) (x+3) (x^2 + x - 1) = 0

Ну и теперь видим произведение нормальное, только вторая 1 первая степени у нас тут. Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0.

x - 2 = 0 или x + 3 = 0 или x^2+x-1=0

x = 2 x = - 3 D = 1 + 4 = 5

x1 = (-1-sqrt (5)) / 2

x2 = (-1 + sqrt5) / 2

Вот полученные 4 корня и есть корни исходного уравнения. Уравнение решено.