Доказать методом математической индукции:

p + (p+1) + (p+2) + ... + (p+n) = ((2p+n) (n+1)) / 2

Проверяем, что для р=1 равенство истинно.

Пусть для n=к равенство тоже истинно, т. е.

p + (p+1) + (p+2) + ... + (p+к) = ((2p+к) (к+1)) / 2

Запишем для n = к+1:

p + (p+1) + (p+2) + ... + (p+к) + (р+к+1) = ((2p+к) (к+1)) / 2 + (р+к+1) =

= ((2p+к) (к+1) + 2 (р+к+1)) / 2 = ((2p+к) (к+1) + 2 р+2 к + 2)) / 2 = ((2p+к) (к+1) + (2 р+к) + к + 2)) / 2

= ((2p+к) (к+2) + (к + 2)) / 2 = ((2p+к + 1) (к+2)) / 2

Что и требовалось доказать, поскольку то, что мы получили - это то, что должно быть если подставить n=k+1 в исходное рав-во, которое требовалось доказать