Найти угол между касательной к кривой y=x+∛x в точке x₀=1 и нормалью к кривой y=1+√x/1-√x в точке х=4

найти угол между касательной к кривой y = x+∛x в точке x₀=1 и нормалью к кривой y=1+√x / (1-√x) в точке х=4

Решение

Угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами находится по формуле

tg (α) = (k2 - k1) / (1+k1*k2)

Найдем угловой коэффициент касательной к кривой y=x+∛x в точке x₀=1

Угловой коэффициент касательной определяется по выражению

k = y' (xo)

y' = (x+∛x) ' = 1 + (1/3) * x^ (1/3-1) = 1 + (1/3) * x^ (-2/3) = 1+1 / (3∛x²)

k1 = y' (1) = 1+1/3 (∛1²) = 1+1/3 = 4/3

Найдем угловой коэффициент касательной к кривой y=1+√x / (1-√x) в точке x₀=4

y' = (1+√x / (1-√x)) ' = [ (1/2) * x^ (-1/2) * (1-√x) - √x * (-1/2) * x^ (-1/2) ] / (1-√x) ² =

= (1/2) * x^ (-1/2) * (1-√x + √x) / (1-√x) ² = 1 / (2 * √x * (1-√x) ²)

k (касат) = y' (4) = 1 / (2*√4 * (1-√4) ²) = 1 / (2*2 * (1-2) ²) = 1/4

Касательная и нормаль к кривой взаимно перпендикулярна поэтому их угловые коэффициенты связаны выражением

k (касат) * k2 = - 1

k2 = - 1/k (касат) = - 1 / (1/4) = - 4

Определяем угол между касательной и нормалью

tg (α) = (k2 - k1) / (1+k1*k2) = (-4-4/3) / (1+4/3 * (-4)) = 17/13

α = arctg (17/13) ≈ 52,6 градуса