Из жести требуется изготовить 2-литровую цилиндрическую банку. при каких размерах этой банки на ее изготовление уйдет наименьшее количество материала? каково наименьшее количество жести, требующееся для изготовления банки?

Объем цилиндра с радиусом основания R и высотой H равен

V = pi R^2 H

Площадь поверхности

S = 2pi R^2 + 2pi R H

pi R^2 H = 2

H = 2 / (pi R^2)

S (R) = 2pi R^2 + 4/R

Ищем минимальное значение S (R) при R>0.

S' (R) = 4pi R - 4/R^2 = 0

R^3 = 1/pi

R = pi^ (-1/3)

При 00, тогда R0 = pi^ (-1/3) - точка минимума.

H0 = 2 pi^ (-1/3) = 2R0

S0 = 2pi R0 (R0 + H0) = 4pi R0^2 = 4pi^ (1/3) дм^2