Дан треугольник со сторонами 115, 115 и 184. Внутри его расположены 2 равные касающие окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей

1) Проведу отрезок BH к основанию треугольника. Данный треугольник - равнобедренный, так как две стороны в нём равны.

Рассмотрю ΔABH,
По теореме Пифагора,

BH = √AB²-AH² = √13225-8464 = √4761 = 69

2) Поскольку BH касается окружности, то окружность является вписанной в ΔABH.

3) Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляем по формуле:

r = √ (p-a) (p-b) (p-c) / p, где p - полупериметр треугольника. Вычислю сначала этот полупериметр:

p = (69 + 92 + 115) / 2 = 138

r = √ (138-69) (138-92) (138-115) / 138 = √69*46*23/138 = √73002/138 = √529 = 23

Треугольник АВС-равнобедренный, т. как АВ=ВС=115 см

Проведем высоту ВК к основанию АС.

ВК - высота, медиана и биссектриса, делит треугольник АВС на 2 равных прямоугольных треугольника АВК и КВС.

В треуг. АВК:

АК-катет

АК=АС: 2=184:2=92 (см)

АВ=115 см-гипотенуза

ВК - второй катет

ВК2=АВ2-АК2

ВК=корень из 115*115-92*92=69 (см)

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

r = (p-a) (p-b) (p-c) / p

r=ab / (a+b+c)

r = (a+b - c) / 2

r = (92+69-115) : 2=23 (см)

Треугольник АВК=треуг. КВС, значит, площади окружностей равны и радиусы в них тоже равны.

r1=r2=23cм