Найти уравнение касательной в точке М (1; 1/2) функции 0,5x^2 + 4x

Найти уравнение касательной в точке М (1; 1/2) функции 0,5x ² + 4x

Решение

Проверим не является ли точка М (1; 1/2) точкой касания. Если точка М (1; 1/2) является точкой касания, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции.

Подставим координаты точки М (1; 1/2) в уравнение функции у = 0,5x² + 4x.

0,5 = 0,5·1² + 4·1

0,5 ≠ 4,5

значит точка M (1; 1/2) не является точкой касания.

Уравнение касательной выглядит

y = f (x₀) + f' (x₀) (x-x₀)

Значение функции в точке х₀ равно

f (x₀) = 0,5x₀² + 4x₀

Найдём производную в точке x₀

f' (x) = (0,5x² + 4x) ' = x + 4

f' (x₀) = x₀ + 4

Подставим найденные выражения в формулу касательной

0,5 = 0,5x₀² + 4x₀ + (x₀ + 4) (1 - x₀)

Решим это уравнение

0,5x₀² + 4x₀ - x₀² - 3x₀ + 4 - 0,5 = 0

0,5x₀² + x₀ + 3,5 = 0 x₀² - 2x₀ - 7 = 0

D = 2² - 4 * (-7) = 4 + 28 = 32

Первый корень уравнения

x₀ = (2 - 4√2) / 2 = 1 - 2√2

f (x₀) = 0,5 (1-2√2) ² + 4 (1-2√2) = 0,5 (1-4√2+8) + 4 - 8√2 =

= 4,5 - 2√2 + 4 - 8√2 = 8,5 - 10√2

f' (x₀) = 1 - 2√2 + 4 = 5 - 2√2

Уравнение касательной в точке x₀ = 1 - 2√2 f (x₀) = 8,5 - 10√2

y = 8,5 - 10√2 + (5 - 2√2) (x - 1 + 2√2) =

= 8,5 - 10√2 - 5 + 10√2 + 2√2 - 8 + (5-2√2) х = (5-2√2) х + 2√2 - 4,5

Второй корень уравнения

x₀ = (2+4√2) / 2 = 1 + 2√2

f (x₀) = 0,5 (1 + 2√2) ² + 4 (1 + 2√2) = 0,5 (1 + 4√2 + 8) + 4 + 8√2 =

= 4,5 + 2√2 + 4 + 8√2 = 8,5 + 10√2

f' (x₀) = 1 + 2√2 + 4 = 5 + 2√2

Напишем уравнение касательной в точке x₀ = 1 + 2√2 f (x₀) = 8,5 + 10√2

y = 8,5 + 10√2 + (5 + 2√2) (x - 1 - 2√2) =

= 8,5 + 10√2 - 5 - 10√2 - 2√2 - 8 + (5 + 2√2) х = (5 + 2√2) х - 4,5 - 2√2

Получили два уравнения касательных удовлетворяющих условиям задачи

Ответ: y = (5 - 2√2) х + 2√2 - 4,5; y = (5 + 2√2) х - 4,5 - 2√2