Найти координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон 2x-5y-1=0 и 2x-5y-34=0, и уравнение одной из его диагоналей x+3y-6=0.

2x-5y-1=0

y = 2/5x-1/5 (1)

2x-5y-34=0

y = 2/5x-34/5 (2)

x+3y-6=0

y = - 1/3x+2 (3)

Прямые (1) и (2) параллельны, т. к. угловые коэффициенты равны. Значит (1) и (2) - противоположные стороны ромба.

Найдём координаты точек пересечения диагонали со сторонами ромба:

1) 2/5x-1/5 = - 1/3x+2 * 15

6x-3 = - 5x+30

6x+5x = 30+3

11x = 33

x = 3

y (3) = 2/5*3-1/5 = 6/5-1/5 = 5/5 = 1

A (3; 1)

2) 2/5x-34/5 = - 1/3x+2 * 15

6x-102 = - 5x+30

6x+5x = 102+30

11x = 132

x = 12

y (12) = 2/5*12-34/5 = 24/5-34/5 = - 10/5 = - 2

C (12; - 2)

AC - диагональ ромба. Вторая диагональ BD проходит перпендикулярно AC через её середину. Найдём точку O пересечения диагоналей. Это - середина отрезка AC.

O ((3+12) / 2; (1-2) / 2) = (15/2; - 1/2) = (7,5; - 0,5)

Найдём уравнение диагонали BD. Это прямая, проходящая через точку O перпендикулярно AC. Угловой коэффициент этой прямой k = 1/3.

y - (-0,5) = - 1 / (-1/3) · (x-7,5)

y+0,5 = 3 * (x-7,5)

y+0,5 = 3x-22,5

y = 3x-23

Найдём точки пересечения диагонали BD с прямыми (1) и (2). Это и будут координаты вершин B и D.

1) 2/5x-1/5 = 3x-23 * 5

2x-1 = 15x-115

15x-2x = 115-1

13x = 114

x = 114/13 = 8 10/13

y (114/13) = 2/5*114/13-1/5 = 228/65-13/65 = 215/65 = 43/13 = 3 4/13

B (8 10/13; 3 4/13)

2) 2/5x-34/5 = 3x-23 * 5

2x-34 = 15x-115

15x-2x = 115-34

13x = 81

x = 81/13 = 6 3/13

y (81/13) = 2/5*81/13-34/5 = 162/65-442/65 = - 310/65 = - 62/13 = - 4 10/13

D (6 3/13; - 4 10/13)

Ответ: A (3; 1), B (8 10/13; 3 4/13), C (12; - 2), D (6 3/13; - 4 10/13)