Докажите что число sqrt (3) иррациональное

Проведем доказательство от противного. Допустим, что √3 рациональное число, то есть представляется в виде несократимой дроби mn, где m и n - целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

√3 = mn ⇒3 = m2 n2 ⇒ m2 = 3 n2.

Отсюда следует, что m2 кратно 3, значит, и m кратно 3 (если бы целое m не было кратно 3, то и m2 не было бы кратно 3). Пускай m=3r, где r - целое число. Тогда

(3r) 2 = 3 n2 ⇒9 r2 = 3 n2 ⇒ n2 = 3 r2

Следовательно, n2 кратно 3, значит, и n кратно 3. Мы получили, что m и n кратны 3, что противоречит несократимости дроби mn. Значит, исходное предположение было неверным, и √3 - иррациональное число.