1) Сколько различных общих точек имеют график функции y = 8x^4 - 3x^2 - 131x - 7 и касательная к нему в точке с абциссой x0 = 0.25?

2) Решите уравнение (sqrt (x) - кубический корень, здесь) : sqrt (x*sqrt (x*sqrt (x ...))) = 3

Уравнение касательной в точке (x0; y0)

f (x) = y0 + y ' (x0) * (x - x0)

x0 = 0,25 = 1/4. Найдем y0

y0 = y (x0) = 8 * (1/4) ^4 - 3 * (1/4) ^2 - 131*1/4 - 7 = 2^3/2^8 - 3/4^2 - 131/4 - 7 =

= 1/32 - 3/16 - 131/4 - 7 = (1 - 3*2 - 131*8 - 7*32) / 32 = - 1277/32

Найдем y ' (x0)

y ' = 32x^3 - 6x - 131; y ' (1/4) = 32/4^3 - 6/4 - 131 = 1/2 - 3/2 - 131 = - 132

Уравнение

f (x) = - 1277/32 - 132 (x - 1/4) = - 1277/32 - 132x + 132/4 = - 132x - 221/32

Теперь находим точки пересечения

8x^4 - 3x^2 - 131x - 7 = - 132x - 221/32

8x^4 - 3x^2 + x - 224/32 + 221/32 = 0

Приводим подобные и Умножаем все на 32

256x^4 - 96x^2 + 32x - 3 = 0

256x^4 - 64x^3 + 64x^3 - 16x^2 - 80x^2 + 20x + 12x - 3 = 0

(4x - 1) (64x^3 + 16x^2 - 20x + 3) = 0

(4x - 1) (64x^3 + 48x^2 - 32x^2 - 24x + 4x + 3) = 0

(4x - 1) (4x + 3) (16x^2 - 8x + 1) = 0

x1 = 1/4; y (1/4) = - 1277/32

x2 = - 3/4; y (-3/4) = - 132 * (-3/4) - 221/32 = 3168/32 - 221/32 = 2947/32

Квадратное уравнение в скобках корней не имеет.

Ответ: У графика и его касательной 2 общие точки.