Ln (4x-2) * sqrt (x^2-4x+4a-a^2) = 0

При каких значениях а уравнение имеет один корень на промежутке [0; 2]?

Один корень у этого уравнения известен при любом а:

ln (4x - 2) = 0

4x - 2 = 1

x = 3/4 ∈ [0; 2]

Нам надо, чтобы на этом отрезке был только один корень.

Это может быть в двух случаях:

1) Уравнение √ (x^2 - 4x + 4a - a^2) = 0 корней не имеет. Тогда

x^2 - 4x + 4a - a^2 = 0 тоже корней не имеет. Значит, D < 0.

D = 4^2 - 4 (4a - a^2) = 16 - 16a + 4a^2 = 4 (a^2 - 4a + 4) = 4 (a - 2) ^2 < 0

Такого не может быть, квадрат выражения всегда неотрицательный.

Значит, остается второй случай.

2) Уравнение √ (x^2 - 4x + 4a - a^2) = 0 имеет корни, но они не ∈ [0; 2]

Тут тоже возможно 2 варианта:

2 а) Уравнение имеет 1 корень. D = 4 (a - 2) ^2 = 0. а = 2. Тогда

x^2 - 4x + 4*2 - 2^2 = x^2 - 4x + 4 = (x - 2) ^2 = 0

x = 2 ∈ [0; 2] - нам этот вариант не подходит.

2 б) Уравнение имеет 2 корня. D = 4 (a - 2) ^2 = (2a - 4) ^2 > 0. a ≠ 2. Тогда

x1 = (4 - (2a - 4)) / 2 = (8 - 2a) / 2 = 4 - a

x2 = (4 + (2a - 4)) / 2 = 2a/2 = a

Здесь опять возможны варианты.

3 а) x1 < 0; x2 < 0

{ 4 - a 4

{ a < 0

Решений нет.

3 б) x1 2

{ 4 - a 4

{ a > 2

Решение: a > 4

3 в) x1 > 2, x2 < 0

{ 4 - a > 2; a < 2

{ a < 0

Решение: a < 0

3 г) x1 > 2, x2 > 2

{ 4 - a > 2; a < 2

{ a > 2

Решений нет.

Ответ: При a ∈ (-oo; 0) U (4; + oo) уравнение имеет 1 корень на [0; 2].