Log_ (x+2) 3x^ (2) + x-5) = 2

Определение Арккосинусом числа называется такое число, косинус которого равен а:

если и

Все корни уравнений вида cos (х) = а, где, можно находить по формуле

Можно доказать, что для любого справедлива формула

Эта формула позволяет находить значения арккосинусов отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных чисел.

Уравнение sin х = а

Из определения синуса следует, что. Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.

Уравнение sin х = а, где, на отрезке имеет только один корень. Если, то корень заключён в промежутке; если а < 0, то корень заключён в промежутке

Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а

Определение Арксинусом числа называется такое число, синус которого равен а:

, если и

Все корни уравнений вида sin (х) = а, где, можно находить по формуле

Можно доказать, что для любого справедлива формула

Эта формула позволяет находить значения арксинусов отрицательных чисел через значения арксинусов положительных чисел.

Уравнение tg х = а

Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.

Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале только один корень. Если, то корень заключён в промежутке; если а < 0, то в промежутке.

Этот корень называют арктангенсом числа a и обозначают arctg a

Определение Арктангенсом любого числа a называется такое число, тангенс которого равен а:

, если и

Все корни уравнений вида tg (х) = а для любого a можно находить по формуле

Можно доказать, что для любого a справедлива формула

Эта формула позволяет находить значения арктангенсов отрицательных чисел через значения арктангенсов положительных чисел.

Решение тригонометрических уравнений

Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin x = a, cos x = а, tg x = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Решить уравнение 2 cos2 х - 5 sin х + 1 = 0

Заменяя cos2 х на 1 - sin2 х, получаем

2 (1 - sin2 х) - 5 sin х + 1 = 0, или

2 sin2 х + 5 sin x - 3 = 0.

Обозначая sin х = у, получаем 2 у2 + 5y - 3 = 0, откуда y1 = - 3, y2 = 0,5

1) sin х = - 3 - уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;

2) sin х = 0,5;

Ответ

Решить уравнение 2 cos2 6 х + 8 sin 3 х cos 3x - 4 = 0

Используя формулы

sin2 6x + cos2 6x = 1, sin 6 х = 2 sin 3x cos 3x

преобразуем уравнение:

3 (1 - sin2 6 х) + 4 sin 6 х - 4 = 0 = > 3 sin2 6 х - 4 sin 6x + 1 = 0

Обозначим sin 6x = y, получим уравнение

3y2 - 4y + 1 = 0, откуда y1 = 1, y2 = 1/3

1)

2)

Ответ

Уравнение вида a sin x + b cos x = c

Решить уравнение 2 sin x + cos x - 2 = 0

Используя формулы и записывая правую часть уравпения в виде получаем

Поделив это уравнение на получим равносильное уравнение

Обозначая получаем уравнение 3y2 - 4y + 1 = 0, откуда y1=1, y1 = 1/3

1)

2)

Ответ

В общем случае уравнения вида a sin x + b cos x = c, при условиях можно решить методом введения вспомогательного угла.

Разделим обе части этого уравнения на:

Введём вспомогательный аргумент, такой, что

Такое число существует, так как

Таким образом, уравнение можно записать в виде

откуда

где или

Изложенный метод преобразования уравнения вида a sin x + b cos x = c к простейшему тригонометрическому уравнению называется методом введения вспомогательного угла.

Решить уравнение 4 sin x + 3 cos x = 5

Здесь a = 4, b = 3,. Поделим обе части уравнения на 5:

Введём вспомогательный аргумент, такой, что Исходное уравнение можно записать в виде

откуда

Ответ

Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.

Решить уравнение sin 2 х - sin х = 0

Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin х cos x - sin x = 0. Вынося общий множитель sin x за скобки, получаем sin x (2 cos x - 1) = 0

1)

2)

Ответ

Решить уравнение cos 3 х cos х = cos 2x

cos 2 х = cos (3 х - х) = cos 3 х cos x + sin 3 х sin x, поэтому уравнение примет вид sin x sin 3 х = 0

1)

2)

Заметим, что числа содержатся среди чисел вида

Следовательно, первая серия корней содержится во второй.

Ответ

Решить уравнение 6 sin2 х + 2 sin2 2x = 5

Выразим sin2x через cos 2x.

Так как cos 2x = cos2x - sin2x, то

cos 2x = (1 - sin2 х) - sin2 х, cos 2x = 1 - 2 sin2 х, откуда

sin2 х = 1/2 (1 - cos 2x)

Поэтому исходное уравнение можно записать так:

3 (1 - cos 2x) + 2 (1 - cos2 2 х) = 5

2 cos2 2 х + 3 cos 2 х = 0

cos 2 х (2 cos 2x + 3) = 0

1) cos 2 х = 0,

2) уравнение cos 2x = - 3/2 корней не имеет.

Ответ