При каких значениях а функции y=x^3-3x^2+ax возрастает на всей числовой прямой

Функция возрастает на интервале, если производная ее положительна в каждой точке интервала. Ищем производную у' = (x³-3x²+ax) ' = 3x²-6x+a.

Ищем значения а, при которых производная будет положительна при всех х.

Для этого парабола 3x²-6x+a не должна пересекать ОХ, Значит D трехчлена должен быть отрицательным. (-6) ²-4*3*а<0

36 - 12a<0

-12a<-36

a>3. При таких а функция возрастает на всей числовой прямой.