Докажите что для любого не отрицательного целого числа n число 5^ (2n+3) + 8n+3 делится на 16

Методом математической индукции.

При n = 1 будет

N (1) = 5^ (2+3) + 8 + 3 = 5^5 + 11 = 3125 + 11 = 3136 = 16*196 - выполняется.

Пусть оно выполняется для какого-то n, тогда для n+1 будет

N (n+1) = 5^ (2n+2+3) + 8 (n+1) + 3 = 5^ (2n+3) * 5^2 + 8n + 8 + 3 =

= 5^ (2n+3) * 25 + 8n + 3 + 8 = 5^ (2n+3) + 8n + 3 + 5^ (2n+3) * 24 + 8 =

= N (n) + 8 * (5^ (2n+3) * 3 + 1)

N (n) делится на 16, 5^ (2n+3) - это 5 в нечетной степени, кончается на 5,

то есть нечетное, 5^ (2n+3) * 3 тоже нечетное, (5^ (2n+3) * 3 + 1) четное.

Если четное число умножить на 8, получится число, делящееся на 16.

Теорема доказана.