Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность. А) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз. Б) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов? В) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

а) Подходит пример 1, 2, 3. В этом случае s1 = (1+2+3) 2 - 12 - 22 - 32 = 22. Если добавить ещё один член, то получится s2 = (1+2+3+4) 2 - 12 - 22 - 32 - 42 = 70. При этом s2 - s1 = 48. б) Исследуем вопрос в общем виде. Пусть s1 = (x1 + ⋯ + xn) 2 - (x21 + ⋯ + x2n). С добавлением нового члена получается, что s2 = (x1 + ⋯ + xn + x n+1) 2 - (x21 + ⋯ + x2n + x2 n+1). Тогда s2 - s1 = (x1 + ⋯ + xn + x n+1) 2 - (x1 + ⋯ + xn) 2 - x2 n+1, что с учётом формулы для разности квадратов равно x n+1 (2 x1 + ⋯+2 xn + x2 n+1) - x2 n+1 = 2 x n+1 (x1 + ⋯ + xn). Применим известные формулы, согласно которым x n+1 = x1 + nd, где d - - разность арифметической прогрессии, а также x1 + ⋯ + xn = n⋅ x1 + xn 2 = n x1 + n (n-1) 2 d. Для числа 1440, с учётом множителя 2 в выведенной выше формуле, получаем уравнение (x1 + nd) (n x1 + n (n-1) 2 d) = 720. Легко видеть, что n≠12, так как x1 ≥0, d≥1, и тогда произведение не меньше, чем n⋅ n (n-1) 2 > 12⋅12⋅10 2 = 720. в) Из предыдущего пункта ясно, что n<12. Значение n=11 не подходит, так как левая часть уравнения делится на 11, а правая не делится. Проверим случай n=10. Здесь после сокращения на 5 получается (x1 + 10d) (2 x1 + 9d) = 144. Понятно, что d=1, что приводит к квадратному уравнению (x1 + 10) (2 x1 + 9) = 144, не имеющему целочисленных решений. Случай n=9 после сокращения на 9 даёт (x1 + 9d) (x1 + 4d) = 80. Отсутствие целочисленных решений проще всего усмотреть так. Один из сомножителей должен делиться на 5, поскольку 80 кратно пяти. Но тогда второй сомножитель тоже делится на 5 ввиду того, что разность кратна пяти. Однако число в правой части не делится на 25, и так быть не может. Для n=8 уравнение после сокращения на 4 принимает вид (x1 + 8d) (2 x1 + 7d) = 180. Здесь уже решение легко найти подбором: подходит d=1, x1 = 4. Прогрессия 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 из восьми членов удовлетворяет условиям задачи, и это количество членов является наибольшим.