Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям. y''-4y'=6x^2+1 y (0) = 2, y' (0) = 3

Y''-4y'=6x^2+1, y (0) = 2, y' (0) = 3

Преобразования Лапласа

y'' (x) - - ⇒p^2Y (p) - p*y (0) - y' (0)

y'' (x) - - ⇒p^2Y (p) - 2p-3

y' (x) - - ⇒pY (p) - y (0)

y' (x) - - ⇒pY (p) - 2

x^2--⇒2/p^3

1--⇒1/p

p^2Y (p) - 2p-3-4 (pY (p) - 2) = 12/p^3+1/p

p^2Y (p) - 2p-3-4pY (p) + 8=12/p^3+1/p

p^2Y (p) - 4pY (p) = 12/p^3+1/p+5p+3

Y (p) (p^2-4p) = (12+p^2+5p^4+3p^3) / p^3

Y (p) = (5p^4+3p^3+p^2+12) / p^3 (p^2-4p)

Y (p) = (5p^4+3p^3+p^2+12) / p^4 (p-4)

5p^4+3p^3+p^2+12=Ap^4+Bp^3 (p-4) + Cp^2 (p-4) + Dp (p-4) + E (p-4)

5p^4+3p^3+p^2+12=Ap^4+B (p^4-4p^3) + C (p^3-4p^2) + D (p^2-4p) + E (p-4)

отсюда

A=-3 B=-3/4 C=-7/16 D=-55/64 E=73/64

5p^4+3p^3+p^2+12 = - 3/p^4-3/4p^3-7/16p^2-55/64p+73/64 (p-4))

Обратное преобразование Лапласа

1/p^4--⇒x^3/6

1/p^3---⇒x^2/2

1/p^2--⇒x

1/p--⇒1

1 / (p-4) - - ⇒e^4x

Y (p) = - x^3/2-3x^2/8-7x/16-55/64+73e^4x/64