вокруг правильного четырехугольника описана окружность. в этот четырехугольник также вписана окружность. Чему равно отношение радиусов этих окружностей?

Правильный четырехугольник - это квадрат.

Если сторона квадрата а, то радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата:

r = a/2

радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата:

R = a√2/2

R : r = a√2/2 : (a/2) = √2