В равнобокую трапецию, одно из оснований которой равно 8, вписана окружность радиуса 6. Найдите площадь трапеции

По условию

ВД = 8, КД = ВД/2 = 4

ИК = ИЕ = 6

- - - 1 - - -

ΔГКД ~ ΔГЕИ, т. к. угол Г общий и углы К и Е - прямые

Из подобия треугольников

ГД/ГК = ГИ/ГЕ

x/y = (y+6) / (x+4)

x² + 4x = y² + 6y

- - - 2 - - -

по т. Пифагора для ΔГКД

ГД² = ГК² + КД²

x² = y² + 4²

- - - 3 - - -

Решаем совместно уравнения из 1 и 2

Вычтем из второго первое

4² + 4x = 6y

x = 3/2*y - 4

Подставим выражение для х во второе

(3/2*y - 4) ² = y² + 16

9/4 * y² - 2*3/2*4*y + 16 = y² + 16

5/4*y² - 12y = 0

5y² - 48y = 0

y (5y - 48) = 0

Плохое решение y=0 отбросим

Хорошее решение

y = 48/5

x = 3/2*y - 4 = 3/2*48/5 - 4 = 72/5 - 4 = 52/5

- - - 4 - - -

ΔГКД ~ ΔГЖЗ

ЖЗ/КД = ГЗ/ГК

z/4 = (y + 6 + 6) / y

z = 4 * (y + 12) / y = 4 * (48/5 + 12) / (48/5) = 5/12 * (48/5 + 12) = 4 + 5 = 9

Нижнее основание трапеции

2z = 2*9 = 18

- - - 5 - - -

Площадь - половина произведения суммы основания на высоту

S = 1/2 * (8 + 18) * 12 = 6*26 = 156