Периметр равнобедренного треугольника равен 96 см, а основание и высота, проведенная к нему, относятся как 3:2. На медиане, проведенной к основанию, отмечена точка, равноудаленная от основания и боковой стороны.

Найдите это расстояние и длину вписанной в треугольник окружности.

Пусть дан треугольник АВС, ВМ - его медиана.

АС: ВМ=3:2

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Следовательно, медиана делит основание АС на АМ=МС, а точка на ней, равноудаленная от сторон треугольника, - центр вписанной в него окружности. ОМ=ОК=r.

Примем коэффициент отношения основания и высоты равным а.

Тогда ВМ=2 а. и МС=АС: 2=3 а: 2=1,5 а,

По т. Пифагора найдем боковую сторону.

ВС=√ (BM²+MC²) = √ (4a²+2,25a²) = 2,5a

АВ=ВС.

Р=2•2,5 а+3 а=8 а

8 а=96,⇒ а=12 см

ВМ=2•12=24 см

МС=1,5•12=18 см, АС=36 см

Формула радиуса вписанной в треугольник окружности

r=S:p, где р - полупериметр. р=96:2=48 см

r=ВМ•СМ: 48=24•18:48=9 см

Длина окружности L=2πr=18π см