Через середину боковой стороны равнобедренного треуголь-

ника перпендикулярно этой стороне проводится прямая, которая

пересекает основание треугольника и делит треугольник на части,

площади которых равны 50 и 94. Найти длину боковой стороны тре-

угольника.

Имеем равнобедренный треугольник АВС, АВ = ВС. Точка Н - середина АВ. Перпендикуляр к АВ в точке Н - отрезок ДН. Площадь АВС = 144, площадь АНД = 50, угол ВАС = углу ВСА. Основание высоты из вершины В - точка Е.

Так как АН = НВ, НД ⊥ АВ, то треугольник АВД - равнобедренный. Угол ВАД = углу АВД.

Отсюда делаем вывод, что треугольники ВДА и АВС подобны по двум углам.

Площадь треугольника ВДА = 2*50 = 100.

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента "к" подобия.

к = √ (144/100) = √1,44 = 1,2.

Рассмотрим половины подобных треугольников - прямоугольные треугольники ВДН и АВЕ.

В треугольнике ВДН примем ВН = х, ДН = у, так как АВ = 2 х, то ВД = (2 х/1,2).

В треугольнике АВЕ катет АЕ = 1,2 х, катет ВЕ = 1,2 у, гипотенуза АВ = 2 х.

Из него по Пифагору определяем:

ВЕ² = (2 х) ² - (1,2 х) ² = 4 х² - 1,44 х² = 2,56 х².

Тогда ВЕ = 1,2 у = 1,6 х.

Площадь АВЕ = 144/2 = 72.

Получаем 72 = (1/2) * АЕ*ВЕ = (1/2) * 1,2 х*1,6 х = 0,96 х².

х² = 72/0,96 = 75.

х = √75 = 5√3.

Ответ: боковые стороны равны по 2 х = 2*5√3 = 10√3 кв. ед.