В треугольнике abc проведены медианы AA1=9 и BB1=12, а AB=10. Чему равна третья медиана? Чему равна площадь треугольника ABC?

Question

Геометрия

Германа

6 августа, 15:59

В треугольнике abc проведены медианы AA1=9 и BB1=12, а AB=10. Чему равна третья медиана? Чему равна площадь треугольника ABC?

+3

Ответы (1)

Знаете ответ?

Веньямин · Answer 1

Дано: в треугольнике АВС проведены медианы AA1=9 и BB1=12, сторона AB = 10.

Точка пересечения медиан - это точка О.

По свойству медиан АО = (2/3) * 9 = 6, ОА1 = 3.

ВО = (2/3) * 12 = 8, ОВ1 = 4.

По трём сторонам треугольника АВО находим его площадь (формула Герона).

Полупериметр р = (10+8+6) / 2 = 24/2 = 12.

S = √ (12*2*4*6) = √ (24*24) = 24.

Площадь треугольника АВО составляет 1/3 треугольника АВС.

Тогда S (АВC) = 3*24 = 72 кв. ед.

По соотношению квадратов сторон треугольника АВО (10 ² = 8² + 6²) видно, что он прямоугольный.

Значит, медианы пересекаются под прямым углом.

Отсюда находим стороны:

ВС = 2 √ (8² + 3²) = 2√ (64 + 9) = 2√73.

АС = 2√ (6² + 4²) = 2√ (36 + 16) = 2√52.

Теперь можно найти длину медианы СС1 по формуле:

mc = (1/2) * √ (2a² + 2b² - c²).

СС1 = (1/2) √ (2*292 + 2*208 - 100) = (1/2) * √900 = 15.