В треугольнике ABC ∟В = 45 градусов, высота AN делит сторону ВС на отрезки BN = 8 см и NC = 6 см. Найдите площадь треугольника АВС и длину стороны АС.

По сумме углов прямоугольного треугольника, угол ВАN=90°-угол В=90°-45°=45°=угол В, тогда по признаку равнобедренного треугольника, АNB - равнобедренный (AN=BN=8 см по определению), значит, S∆ABC=AN*BC/2=8 см (BN+CN) / 2=4 см (8 см+6 см) = 4 см*14 см=56 см^2, поэтому рассмотрим ∆ABN (угол ABN=90°) :

AB=√ (AN^2+BN^2) = √ (64+64) = √128=8√2 (см) Итак, AB=8√2 см, а рассмотрим ∆ABC:

По теореме cos, AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BC*cos B=128+196-2*8√2*14*cos 45°=324-224√2√2/2=324-224=100 (см^2)

АС=√АС^2=√ (100 см^2) = 10 см

Ответ: S∆ABC=54 см^2, АС=10 см