На катете АС треугольника АВС (угол С=90 градусов) как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу АВ в точке D; BD = 4 см, AD = 9 см. Найдите CD.

Выполнив чертеж, убедимся, что катет ВС - отрезок касательной, а ВА - секущая данной окружности. По теореме о секущей и касательной:

ВС квад = ВД * ВА = 4 * 13 = 52. Отсюда

ВС = 2 кор13. Найдем cos В:

cosВ = ВС/АВ = (2 кор13) / 13.

Теперь рассмотрим треугольник ВDC: ВD=4; ВС=2 кор13; cosB = 2/кор13. Для нахождения CD применим теорему косинусов:

CDквад = 16 + 52 - 2*4*2 кор13*2/кор13 = 68 - 32 = 36. Отсюда

CD = 6 см.

Ответ: 6 см.