В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) тангенс угла ВАС равен 0,75, К - точка касания вписанной окружности со стороной ВС. Найдите площадь треугольника АВС, если АК=b.

Хорошая задачка, хотя и очень простая.

Обозначим M - середина AC, BM - вертикальная ось симметрии АВС, N - точка касания АС вписаной окружностью, симметричная К относительно ВМ.

Тр-к АМС прямоугольный, BM/АМ = 3/4 (по условию). Обозначим за х некую единицу измерения сторон, так что ВМ = 3*х, АМ = 4*х. Тогда АС = ВС = 5*х (надо ссылаться на Пифагора?), АN = АМ = 4*х, АС = 8*х.

Само собой, косинус ВАС (и ВСА) равен 4/5.

Имеем по теореме косинусов

b^2 = (8*x) ^2 + (4*x) ^2 - 2 * (8*x) * (4*x) * (4/5) ;

Отсюда х^2 = b^2*5/144;

Площадь S = (4*x) * (3*x) = 12*x^2 = b^2*5/12